Matematiikkapulmia

[Juhis]

Kokeillaanpas, josko tälläinen toikki toimisi yleisen asiakesksutelun puolella. Toivottavasti jengi löytää paikalle.

Mulle tulee silloin tällöin pakottavia tarpeita ratkoa erillaisia matemaattisia ongelmia. Vaikka oonkin kehittynyt paljon matematiikassa viimeisten vuosien aikana, on silti ongelmia, joiden ratkaisu on kuitenkin lopulta todella helppo, mutta silti sitä ei millään itse keksi. Tässä otsikossa voitaisiin kertoa tälläisistä pulmista, ja sitten paremmin osaavat voivat neuvoa meitä tyhmempiä.

Aloitetaanpas:

1. Jos tiedetään kaksi pistettä x-y -taulukossa, joista toinen (huippupiste) on esimerkiksi (100,30) ja toinen (125,25), miten muodostetaan paraabelin (kait tässä tapauksessa kyseessä olisi paraabeli?) yhtälö, joka alkaa pisteestä (0,0)?

2. Tämä tehtävä on pikkuveljen kasiluokan matikan kokeesta, jota kukaan ei osannut ratkaista, ja opettajankin vastaus oli mielestäni väärä.

Tyttö osti joulukortteja 43 eurolla. Ostettuja kortteja oli yhteensä 30 kpl. Halvin kortti maksoi euron, keskihintainen 1,5 euroa ja kallein 2 euroa kpl. Keskihintaisia kortteja ostettiin 2 kpa enemmän kuin halpoja. Monta kalleimman hintaluokan korttia tyttö osti?

Noni, matikkanerot kertomaan vastauksia ja muut esittämään lisäkysymyksiä!

 

[abc]

1. Jos tiedetään kaksi pistettä x-y -taulukossa, joista toinen (huippupiste) on esimerkiksi (100,30) ja toinen (125,25), miten muodostetaan paraabelin (kait tässä tapauksessa kyseessä olisi paraabeli?) yhtälö, joka alkaa pisteestä (0,0)?

2. Tämä tehtävä on pikkuveljen kasiluokan matikan kokeesta, jota kukaan ei osannut ratkaista, ja opettajankin vastaus oli mielestäni väärä.

Tyttö osti joulukortteja 43 eurolla. Ostettuja kortteja oli yhteensä 30 kpl. Halvin kortti maksoi euron, keskihintainen 1,5 euroa ja kallein 2 euroa kpl. Keskihintaisia kortteja ostettiin 2 kpa enemmän kuin halpoja. Monta kalleimman hintaluokan korttia tyttö osti?

Yhtälöryhmällä saa molemmat ratkastua. Esim. toi alempi:

1*a + 1.5*b + 2*c = 43
a+b+c = 30
b = a + 2
c = ?



edit: eikös paraabelilla ollu vaan yks huippupiste? vai tarkottiko toi toinen piste vaan, notta se menis sen kautta?

 

[abc]

Yhtälöryhmällä saa molemmat ratkastua. Esim. toi alempi:

1*a + 1.5*b + 2*c = 43
a+b+c = 30
b = a + 2
c = ?

Mikähän mulla ny meni pieleen, ku TI-85 sano tohon, jotta ratkaisut olis:

a=10.66
b=12.66
c=6.66

(a oli siis halvimpien lukumäärä, b keskihintaisten ja c kalleimpien)

 

[Juhis]

Mikähän mulla ny meni pieleen, ku TI-85 sano tohon, jotta ratkaisut olis:

a=10.66
b=12.66
c=6.66

(a oli siis halvimpien lukumäärä, b keskihintaisten ja c kalleimpien)

Eikait sulla mikään mennyt pieleen, pikaisesti vilkaistuna tosta sun esimerkistäs sai oikean vastauksen, johon pääsin itsekin vanhemmilla tuossa päivemmällä laskiessani.

Tuossa tehtävässä jäi vaivaamaan se, että opettaja oli väittänyt vastaukseksi 4, joka on kyllä väärä vastaus (yhteishinnaksi tulee vain 41 €), ja se, että eihän nyt 2/3 kortteja voi ostaa. Huonosti laadittu tehtävä, ja mielestäni kasiluokkalaisten kokeeseen liian vaikea.

Jännä välillä tehdä pikkuveljen kotitehtäviä, kun tuntuu että ovat liian vaikeita. Esim. pikkuveli pyysi apua jakokulman käytössä, enhän sitä muistanut yhtään. Esitä siinä sitten korkeakouluopiskelijaa

 

[Juhis]

Yhtälöryhmällä saa molemmat ratkastua.

edit: eikös paraabelilla ollu vaan yks huippupiste? vai tarkottiko toi toinen piste vaan, notta se menis sen kautta?

Joo on yksi piste ja tarkoittaa sitä, että se menisi sen kautta. Elikkä (100,30) on sen paraabelin huippupiste ja piste (125,5) on toinen piste, jonka kautta käyrä menee. Huomatkaa, että kyseinen piste on huippupisteen jälkeen laskuvaiheen aikana! Mun mielestä näiden kahden tiedon aikana pitäisi saada yhtälö muodostettua, jolla saa excelillä piirrettyä kyseisen käyrän selvittämällä käyrän muiden pisteiden kohdan.

Tähän mielelläni näkisin jonkun hyvän yhtälön tai tavan, jolla ratkaista kyseinen tehtävä. Alkanut nimittäin jo vähän vaivaamaan, kun en saa järkevää vastausta aikaseksi lain.

 

[JNF]

Tokasta saan samat kuin Juhis eli typerä tehtävänanto.

Ja ekasta että ootko varma että tuollainen paraabeli on mahdollinen? Jonku käyrän yhtälön sille voisi laskea, mutta en minä ainakaan saa sille ratkaisua paraabelimuodossa (y= ax²+bx+c).

E: Eli paraabelin määrittelemiseen ei tarvittaisi kuin kaksi pistettä mutta annat niitä kolme.

 

[Juhis]

Tokasta saan samat kuin Juhis eli typerä tehtävänanto.

Ja ekasta että ootko varma että tuollainen paraabeli on mahdollinen? Jonku käyrän yhtälön sille voisi laskea, mutta en minä ainakaan saa sille ratkaisua paraabelimuodossa (y= ax²+bx+c).

E: Eli paraabelin määrittelemiseen ei tarvittaisi kuin kaksi pistettä mutta annat niitä kolme.

Sinänsä käyrä ei varmaan ole suoraan parabeeli. Hakusessa on tuollainen käyrä, jonka tein excelissä ensiksi piirrettyäni paperille käsin nuo kaksi antamaani pistettä, hahmotetuani käyrän käsin. Sen jälkeen katsoin käyrästä koordinaattipisteitä, laitoin exceliin ja piirsin kaavion. Käyrän voinee jatkaa alas asti, mutta en viitsinyt niin hifiä vääntää.

Tarkoituksena olisi siis, että kun johonkin yhtälöön sijoitan kaksi pistettä, piirtää se tuontyylisen käyrän niiden kahden pisteen arvojen perusteella.

Kyllä tuon täytyy voida laskea jotenkin, en vain saa aikaiseksi miten. Uskon, että ratkaisu on ihan yksinkertainen, kunhan vain se jotenkin ekana selviäis.

edit: Hmm käyrässä on tuo toinen piste (125,28). Noh ei haitanne yhtälön muodostamista.

 

[JNF]

En nyt ole varma vieläkään, ymmärsinkö mitä ajat takaa mutta ainakin y-akselin suuntaisen käyrän, jonka huippupiste tiedetään, voidaan määritellä yhtälön y-yo=a(x-xo)² avulla. Siitä saadaan sitten ratkaistua normaalimuoto jolle yhtälö piirretään. Tässä siis piste (xo, yo) on huippupiste.

En nyt kyllä yhtäkkiä keksi tapaa piirtää paraabeliä, mikäli toinen näistä tunnetuista pisteistä ei ole huippupiste. Silloin se voisi aueta myös x-akselin suuntaan jne.

Mielestäni ei siis ole olemassa paraabelia, joka kulkee pisteiden (0,0), (100, 30) ja (125,5) kautta keskimmäisen ollessa huippupiste. Voin olla väärässä kun ei ole tullut tällaisia tehtäviä tehtyä vuosiin.

Juttua paraabelistä http://fi.wikipedia.org/wiki/Paraabeli

e: jos käyrälle ei siis aseteta oikein mitään muita ehtoja, kuin että se kulkee kahden pisteen kautta, niin en osaa sanoa miten siitä sitten yhtälöä muodostettaisiin.

 

[Juhis]

En nyt ole varma vieläkään, ymmärsinkö mitä ajat takaa mutta ainakin y-akselin suuntaisen käyrän, jonka huippupiste tiedetään, voidaan määritellä yhtälön y-yo=a(x-xo)² avulla. Siitä saadaan sitten ratkaistua normaalimuoto jolle yhtälö piirretään. Tässä siis piste (xo, yo) on huippupiste.

En nyt kyllä yhtäkkiä keksi tapaa piirtää paraabeliä, mikäli toinen näistä tunnetuista pisteistä ei ole huippupiste. Silloin se voisi aueta myös x-akselin suuntaan jne.

Mielestäni ei siis ole olemassa paraabelia, joka kulkee pisteiden (0,0), (100, 30) ja (125,5) kautta keskimmäisen ollessa huippupiste. Voin olla väärässä kun ei ole tullut tällaisia tehtäviä tehtyä vuosiin.

Juttua paraabelistä http://fi.wikipedia.org/wiki/Paraabeli

Jep tuota tutkistelin jo viime yönä. :thumbup: Unohdetaan sana paraabeli kokonaan, se vain tuli ensiksi mieleen kuvaamaan sitä muotoa kun ykköskohtaa kirjotin. Puhutaan vaikka käyrästä, josta tiedetään lähtöpiste + kaksi pistettä, toisen ollessa huippupiste. Kuten esimerkiksi sähkömoottorin momenttikäyrä.

Nyt salille unohtamaan hetkeksi matematiikan koukerot, odotan vesi kielellä josko lisäapua olisi selvinnyt paluusen mennessa.

 

[abc]

Jos toi joku momenttikäyrä on, niin voithan kokeilla minkänäköinen tulee, jos teet kaks vähän erilaista paraabelin puolikasta huipun eri puolille.

 

[Juhis]

En nyt ole varma vieläkään, ymmärsinkö mitä ajat takaa mutta ainakin y-akselin suuntaisen käyrän, jonka huippupiste tiedetään, voidaan määritellä yhtälön y-yo=a(x-xo)² avulla. Siitä saadaan sitten ratkaistua normaalimuoto jolle yhtälö piirretään. Tässä siis piste (xo, yo) on huippupiste.

Ongelma ratkaistu, kiitän! Tästä viestistä lähti idea jolla koko hommeli ratkesi, salilla välähti erhe ja pitseriassa pitsaa oottaessa väänsin yhtälöt. Nyt toimii niinkuin ajattelin.

Elikkä ei tuossa ollut mitään ongelmaa, selvitti vain a:n annettujen pisteiden avulla ja sen avulla pystyi laskemaan koko käyrän sijoittamalla vain halutun pisteen arvot. Olin tuota kaavaa pyöritellyt jo aikaisemmin, mutta silloin ei lähtenyt homma etenemään jostain syystä. Kuten sanoin, ratkaisu on äärimmäisen yksinkertainen, kunhan vain sen tajuaa. Eipä tullut ihan turhaan tätä toikkia perustettua, seuraavaksi voisi yrittää, miltä näyttäisi tuo VJR:n ehdotus käyrässä.

Seuraavaa pulmaani odotellessa, muitten vuoro esittää tyhmän helppoja kysymyksiä.

 

[JNF]

Jos vaikka koululla pystyt käyttämään jotain matikkaohjelmaa, niin niillä on helppo piirrellä erilaisia käyriä. Maplea, Matlabbia ja Mathematicaa käytetään aika yleisesti. Itellä ei tosin ole käyttökokemusta kuin jälkimmäisestä ja sillä saa piirrettyä oikeastaan millaisia kuvaajia vain, mm. kolmiulotteisia kuvaajia erilaisilla väreillä jne.